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Modèle euclidien

Décrivant un vecteur comme un segment de ligne dirigée à partir de l`origine de l`espace euclidien (queue vectorielle), jusqu`à un point dans cet espace (pointe vectorielle), sa longueur est en fait la distance entre sa queue et son extrémité. La norme euclidienne d`un vecteur est considérée comme la distance euclidienne entre sa queue et son extrémité. Bernhard Riemann, dans une conférence célèbre en 1854, a fondé le champ de la géométrie riemannienne, en discutant en particulier les idées maintenant appelées collecteurs, métrique riemannienne, et la courbure. Il a construit une famille infinie de géométries qui ne sont pas euclidiens en donnant une formule pour une famille de métriques riemanniennes sur la balle unitaire dans l`espace euclidien. Le plus simple est appelé géométrie elliptique et il est considéré comme une géométrie non-euclidienne en raison de son manque de lignes parallèles. [12] dans le plan euclidien, si p = (P1, P2) et q = (Q1, Q2) alors la distance est donnée par il y a des mathématiciens qui étendent la liste des géométries qui devraient être appelées «non-euclidienne» de diverses manières. [16] et cette quantité est le carré de la distance euclidienne entre z et l`origine. Par exemple, {z | z z * = 1} est le cercle de l`unité. Une autre ligne de généralisation est de considérer d`autres champs de nombre que l`un des nombres réels. Sur des nombres complexes, un espace de Hilbert peut être vu comme une généralisation de la structure de produit euclidienne de point, bien que la définition du produit intérieur devienne une forme sesquilinear pour la compatibilité avec la structure métrique. La découverte des géométries non-euclidiennes avait un effet d`ondulation qui allait bien au-delà des limites des mathématiques et des sciences.

Le traitement de la connaissance humaine par le philosophe Emmanuel Kant avait un rôle particulier pour la géométrie. C`était son premier exemple de la connaissance synthétique a priori; pas dérivé des sens ni déduit par la logique — notre connaissance de l`espace était une vérité avec laquelle nous sommes nés. Malheureusement pour Kant, son concept de cette géométrie inaltablement vraie était euclidienne. La théologie a également été affectée par le changement de la vérité absolue à la vérité relative dans la façon dont les mathématiques sont liées au monde qui l`entoure, qui a été le résultat de ce changement de paradigme. [22] dans le contexte de la géométrie euclidienne, une métrique est établie dans une dimension en fixant deux points sur une ligne, et en choisissant une pour être l`origine. La longueur du segment de ligne entre ces points définit l`unité de distance et la direction de l`origine au deuxième point est définie comme la direction positive. Ce segment de ligne peut être traduit le long de la ligne pour construire des segments plus longs dont les longueurs correspondent à des multiples de la distance unitaire. De cette manière, des nombres réels peuvent être associés à des points sur la ligne (comme la distance de l`origine au point) et ce sont les coordonnées cartésiennes des points sur ce qui peut maintenant être appelé la ligne réelle. Comme une autre façon d`établir la métrique, au lieu de choisir deux points sur la ligne, choisissez un point pour être l`origine, une unité de longueur et une direction le long de la ligne pour appeler positif.